Задача 73635

Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Теорема Виета ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бешкарев В.П.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

Решение 1

Автор: Берколайко С.Т.

  Воспользуемся известным тождеством   tg α + tg (α + 60°) + tg (α – 60°) = 3 tg 3α   (его можно проверить, выразив обе части через tg α). Из него следует, что  tg 1° + tg 61° + tg 121° = tg 1° + tg(1° + 60°) + tg(1° – 60°) = 3 tg 3°,  tg 5° + tg 65° + tg 125° = 3 tg 15°,  и т. д., поэтому вся сумма равна  3(tg 3° + tg 15° + ... + tg 171°).
  Аналогично разбив полученную сумму на "тройки", получим, что она равна

9(tg 9° + tg 45° + tg 81° + tg 117° + tg 153°) = 9 + 9(tg 9° + сtg 9° – сtg 27° – tg 27°),

после чего остается найти сумму  tg 9° + сtg 9° – сtg 27° – tg 27° =

Решение 2

  Заметим, что если  z = cos 2φ + i sin 2φ,  то  

  Нам нужно найти сумму 45 слагаемых вида     Поскольку числа
  являются корнями уравнения  z⁴⁵ = i,  то корнями уравнения  (1 – z)⁴⁵ = i(1 + z)⁴⁵  являются числа, удовлетворяющие соотношениям     то есть числа  
  После приведения подобных членов последнее уравнение записывается в виде  (1 + i)z⁴⁵ – 45(1 – i)z⁴⁴ + … = 0,  и по теореме Виета сумма его корней равна    
  Искомая сумма получается из этой делением на  – i.

Замечания

1. Ср. с задачей 61143.

2. Еще два решения можно найти в решениях Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	8
Задача
Номер	М100