Задача 73655

Темы:    [ Теория групп (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Яновская С.А.

В некотором множестве введена операция *, которая по каждым двум элементам a и b этого множества вычисляет некоторый элемент a*b этого множества. Известно, что: 1°. Для любых трех элементов a, b и c
          a*(b*c) = b*(c*a).
2°. Если a*b = a*c, то b = c.
3°. Если a*c = b*c, то a = b.

Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a*b = b*a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a*b)*c = a*(b*c).

Решение

Из условий 1° и 2° следует коммутативность: подставив в 1° a вместо b, получим, что для любых a и c

a*(a*c) = a*(c*a), а отсюда следует, согласно 2°, что a*c = c*a.

Из условия 1° и коммутативности следует ассоциативность: для любых a, b и c, согласно 1°,

a*(b*c) = b*(c*a) = c*(a* b) и, пользуясь коммутативностью, получаем
a*(b*c) = c*(a*b) = (a*b)*c.
Задача решена. Условие 3°, как видим, оказалось лишним. Разумеется, можно было использовать его вместо 2°. Если условие 1° выполнено, то каждое из условий 2° и 3° следует из другого.

Мы видели, что из 1° и коммутативности следует ассоциативность. Конечно, если операция коммутативна и ассоциативна, для нее верно 1°. Однако из ассоциативности и условия 1° коммутативность не следует (т.е. без условий 2° или 3° в доказательстве коммутативности обойтись нельзя).
Приведем пример, подтверждающий это: пусть множество состоит из четырех элементов 0, 1, 2, 3 и операция * определена так: 1*2 = 3, и для любой другой пары элементов a*b = 0 (в частности, 2*1 = 0); в этом примере (a*b)*c = a*(b*c) = 0 для любых трех a, b и c.

Попробуйте придумать пример, доказывающий, что из одного условия 1° не следует ассоциативность.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	12
Задача
Номер	М120