Задача 73789

Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ] [ Теоремы Тейлора и приближения функций ] [ Иррациональные неравенства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Егоров А.А.

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111 (100 единиц) с точностью до а) 100; б) 101; в)* 200 знаков после запятой.

Решение

Приведем решение, позволяющее вычислить этот корень с точностью 301 знак после запятой.

Преобразуем данное число следующим образом:

100= .

Тогда

Уточним эту оценку: найдем такое положительное число a , чтобы выполнялось неравенство

Для этого возведем обе части неравенства(eq:254.2) в квадрат:

упрощая, получим

0<(0,25-2a)+a · 10^-100+a² · 10^-200.
Чтобы выполнялось неравенство(eq:254.2), достаточно взять a=0,125+10^-102 . Действительно, при этом значении a выражение 0,25-2a+a· 10^-100 положительно.

Таким образом, приходим к оценке:

Чтобы оценить число снизу, выберем число b так, чтобы выполнялось неравенство

>1-0,5 · 10^-100-b · 10^-200,
эквивалентное

Чтобы выполнялось неравенство(eq:254.4), достаточно положить b=0,125+10^-101 .

Получаем такую оценку:

Из оценок(eq:254.3) и(eq:254.5) следует, что

0,100499874 98<< 0,100499874 99.
Отсюда получаем
100=0,100 100 ; 98...,
причем все 301 знак после запятой верны.

Аналогичное решение этой задачи прислал наш читатель С.Доморяд.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1974
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М254