ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73789
Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Теоремы Тейлора и приближения функций ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111 (100 единиц) с точностью до а) 100; б) 101; в)* 200 знаков после запятой.

Решение

Приведем решение, позволяющее вычислить этот корень с точностью 301 знак после запятой.

Преобразуем данное число следующим образом:

100= .


Тогда

Уточним эту оценку: найдем такое положительное число a , чтобы выполнялось неравенство

Для этого возведем обе части неравенства(eq:254.2) в квадрат:

упрощая, получим

0<(0,25-2a)+a · 10-100+a2 · 10-200.

Чтобы выполнялось неравенство(eq:254.2), достаточно взять a=0,125+10-102 . Действительно, при этом значении a выражение 0,25-2a+a· 10-100 положительно.

Таким образом, приходим к оценке:

Чтобы оценить число снизу, выберем число b так, чтобы выполнялось неравенство

>1-0,5 · 10-100-b · 10-200,

эквивалентное

Чтобы выполнялось неравенство(eq:254.4), достаточно положить b=0,125+10-101 .

Получаем такую оценку:

Из оценок(eq:254.3) и(eq:254.5) следует, что

0,100499874 98<< 0,100499874 99.

Отсюда получаем
100=0,100 100 ; 98...,

причем все 301 знак после запятой верны.

Аналогичное решение этой задачи прислал наш читатель С.Доморяд.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М254

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .