ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73806
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?


Решение

  Если целое число b равно полусумме целых чисел a и c, то  a + c  чётно, так что числа a и c имеют одну и ту же чётность. Поэтому, если расположить числа 1, 2, ..., n таким образом, чтобы сначала шли все чётные, а затем все нечётные числа, то число b может быть равно полусумме стоящих по разные стороны от него чисел a и c лишь в случае, когда все эти три числа имеют одну и ту же чётность. Таким образом, остается доказать, что требуемым образом можно расположить как чётные числа от 1 до n, так и нечётные.
  Заметим, что располагать числа 2, 4, ..., 2k или же числа 1, 3, ...,  2k – 1  можно в том же порядке, что и числа 1, 2, ..., k. Действительно, если
2b = ½ (2a + 2c)  или  2b – 1 = ½ ((2a – 1) + (2c – 1)),  то  b = ½ (a + c).
  Таким образом, задача сведена к упорядочиванию требуемым образом чисел 1, 2, ..., k  (k = n/2,  если n чётно, и  k = n+1/2,  если n нечётно). Так как для  n = 1  доказываемое утверждение справедливо, то справедливость его для любого натурального n вытекает из принципа математической индукции.

Замечания

Проведённое рассуждение даёт конкретный способ построения требуемого расположения чисел 1, 2, ..., n. В качестве примера проведём такое построение для  n = 16.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М271

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .