|
|
 |
Условие
Пусть p = am10m + am–110m–1 + ... + a0 – простое число, записанное в десятичной системе счисления. Докажите, что многочлен
P(x) = amxm + am–1xm–1 + ... + a1x + a0 неприводим над целыми числами.
Решение
Докажем, что все (комплексные) корни многочлена P лежат в полуплоскости Re z ≤ 4. Действительно, если Re z > 4, то |z| > 4 и
|P(z)| ≥ |zn–1|(|amz + am–1| – |am–2z–1 + ... + a0z1–n|) > 4n–1(4 – 9(1/4 + 1/16 + ...)) = 4n–1(4 – 9/3) > 0.
Пусть P(z) = Q(z)R(z), где Q и R – многочлены ненулевой степени с целыми коэффициентами. Тогда p = P(10) = Q(10)R(10).
Все корни z1, ..., zk многочлена Q являются корнями многочлена P и, значит, лежат левее прямой x = 4. Поэтому |9 – zj| < |10 – zj| и
|Q(10)| = b|10 – z1|...|10 – zk| > b|9 – z1|...|9 – zk| = |Q(9)|. Поскольку Q(9) и Q(10) – отличные от нуля целые числа, то |Q(10)| ≥ 2. Аналогично
|R(10)| ≥ 2. Следовательно, p – составное число. Противоречие.
Замечания
Слова в условии "над целыми числами" – лишние: можно доказать, что для многочленов с целыми коэффициентами неприводимость эквивалентна неприводимости над целыми числами.
