ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76419
Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Решение

Пусть длина бокового ребра равна b, а высота пирамиды равна h. Искомый объём V равен a2h/3. Пусть плоские углы при вершине и углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны $ \alpha$. Тогда b sin$ \alpha$ = h, b cos$ \alpha$ = $ {\frac{\sqrt{2}}{2}}$a и b sin$ {\frac{\alpha}{2}}$ = $ {\frac{a}{2}}$. Поэтому h = b sin$ \alpha$ = $ {\frac{a\sin\alpha}{2\sin(\alpha/2)}}$ = a cos$ {\frac{\alpha}{2}}$, а значит, V = $ {\frac{1}{3}}$a3cos$ {\frac{\alpha}{2}}$. Кроме того, sin$ {\frac{\alpha}{2}}$ = $ {\frac{1}{\sqrt{2}}}$cos$ \alpha$. Пусть cos$ {\frac{\alpha}{2}}$ = x Тогда $ \sqrt{1-x^2}$ = $ {\frac{1}{\sqrt{2}}}$(2x2 - 1). Решая это уравнение и оставляя только положительный корень, получаем x = $ {\frac{1}{2}}$$ \sqrt{1+\sqrt{5}}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 1
Год 1935
вариант
Вариант 2
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .