|
|
 |
Условие
а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.
Решение
а) Первый способ. Предположим, что процедура окраски куба происходит следующим образом: непокрашенный куб устанавливают в станок в некоторое фиксированное положение, а затем последовательно красятся его грани в определённом порядке. Таких способов столько же, сколько перестановок 6 цветов, то есть 6!. Но установить куб в фиксированное положение можно 24 различными способами: куб можно поставить на любую из 6 граней и затем повернуть вокруг вертикальной оси любым из четырёх способов. Поэтому геометрически различных раскрасок в 24 раза меньше, то есть 6! : 24 = 30.
Второй способ. Куб всегда можно повернуть гранью нужного (скажем, белого) цвета вниз, поэтому можно считать, что всегда в белый цвет красится именно нижняя грань. После этого у нас есть 5 способов выбрать цвет для противоположной грани. Из оставшихся четырёх цветов зафиксируем один и окрасим в него переднюю грань (другие варианты раскраски можно не рассматривать, поскольку всегда можно повернуть куб вокруг вертикальной оси в такое положение). Остаётся 3! вариантов для окраски трёх оставшихся граней.
Всего получаем 5·3! = 30 способов.
б) Рассуждения совершенно аналогичны а) (первый способ).
Количество всех раскрасок равно 12!. Установить додекаэдр в фиксированное положение можно 60 способами: поставить на любую
из 12 граней и затем повернуть одним из пяти способов. Поэтому ответ – 12! : 60.
