ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76442
Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка. Доказать, что объём тетраэдра с вершинами в концах этих отрезков не зависит от положения последних.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Покажем, что объём такого тетраэдра равен $ {\frac{1}{6}}$abd sin$ \varphi$, где a и b — длины отрезков, d — расстояние между скрещивающимися прямыми, $ \varphi$ — угол между ними. Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным рёбрам. Плоскости граней исходного тетраэдра отсекают от параллелепипеда 4 тетраэдра, объём каждого из которых составляет 1/6 объёма параллелепипеда. Поэтому объём тетраэдра составляет 1/3 объёма параллелепипеда. А объём параллелепипеда легко вычисляется, поскольку его грань является параллелограммом с диагоналями a и b и углом $ \varphi$ между ними, а высота, опущенная на эту грань равна d.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 3
Год 1937
вариант
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .