|
|
 |
Условие
На сколько частей могут разделить пространство n плоскостей?
(Каждые три плоскости пересекаются в одной точке, никакие четыре плоскости не имеют общей точки.)
Решение
Обозначим это число Kn. Посмотрим, как изменится это число при проведении (n+1)-й плоскости. Эта плоскость пересекается остальными плоскостями по n прямым "общего положения" и делится ими на ½ (n² + n + 2) кусков (см. задачу 60323). Каждый из этих кусков разбивает одну из "старых" частей пространства на две. Значит,
Kn+1 = Kn + ½ (n² + n + 2). Удобнее записать эту формулу в виде Kn = Kn–1 + ½ (n² – n + 2).
Поскольку K0 = 1, имеем
2Kn = 2 + (1² – 1 + 2) + (2² – 2 + 2) + ... + (n² – n + 2) = (1² + 2² + ... + n²) – (1 + 2 + ... + n) + 2(n + 1) =
= ⅙ n(n + 1)(2n + 1) – ½ n(n + 1) + 2(n + 1) = ⅓ (n + 1)(n² – n + 6).
(Формулу для суммы квадратов см. в задаче 60282.)
Ответ
На ⅙ (n³ + 5n + 6) частей.
