ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76450
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Разложение на множители ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решить систему уравнений:
   3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
   x + y + z = 2b,
   x² + y² + z² = b².


Решение

b³ = 3xyzx³ – y³ – z³ = (x + y + z)(xy + yz + xz – x² – y² – z²) = 2b(xy + yz + xz – x² – y² – z²)  (см. задачу 61005 г). Но выражение в скобках неположительно и обращается в ноль только при  x = y = z.  Поэтому уравнение имеет решение только при  b = 0.  В этом случае последние два уравнения запишутся в виде  z = – x – y  и  z² = x² + y².  Возведя первое из них в квадрат, получим  xy = 0.  Значит,   x = 0,  z = – y  или  y = 0,  z = – x.


Ответ

При  b = 0  (0, t, –t),  (t, 0, –t);  при  b ≠ 0  решений нет.

Замечания

При  b ≠ 0  система имеет комплексные решения. Из полученного соотношения следует, что  2(x² + y² + z² – (xy + yz + xz)) = – b².  Но
x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 4b².  Отсюда  x² + y² + z² = b²,  2(xy + yz + xz) = – 3b².  Из третьего уравнения получаем  z = 0,  откуда
x² + y² = b²,  2xy = – 3b².  Теперь два комплексных решения легко находятся.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 5
Год 1939
вариант
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .