ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76456
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Четность и нечетность ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.


Решение

  Из того, что не все коэффициенты произведения кратны 4, следует, что у одного многочлена есть нечётный коэффициент.
  Предположим, что у обоих многочленов есть нечётные коэффициенты. Заменим все коэффициенты обоих многочленов и их произведения на их остатки от деления на 2. В результате получим многочлены  xn + ... + xr  и  xm + ... + xs  и произведение вида  xn+m + ... + xr+s.  Значит, в исходном произведении коэффициент при xr+s нечётен, что противоречит условию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 5
Год 1939
вариант
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .