ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76508
Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Система уравнений второго порядка
   x² – y² = 0,
   (x – a)² + y² = 1
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трёх или до двух?


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

  Из первого уравнения получаем  y = ±x.  Подставив это выражение во второе уравнение, получим  (xa)² + x² = 1.     (1)
  Число решений системы уменьшается до трёх, если одно из решений уравнения (1) обращается в нуль. Подставив в (1)  x = 0,  получим   a² = 1,  то есть  a = ±1.
  Число решений системы уменьшается до двух, если уравнение (1) имеет единственный корень (то есть два совпадающих корня). Приравнивая нулю дискриминант уравнения (1), получаем  a = ± .


Решение 2

  Первое уравнение задаёт на плоскости две прямые:  y = x  и  y = – x,  второе – окружность радиуса 1 с центром в точке  (a, 0).  Число решений уменьшается до трёх, когда окружность проходит через точку пересечения прямых, и до двух, когда окружность касается прямых. Отсюда ответ.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

Число решений уменьшается до трёх при  a = ±1  и до двух при  a = ± .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 8
Год 1945
вариант
Класс 9,10
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .