ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76511
Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из картона вырезали два одинаковых многоугольника, совместили их и проткнули в некоторой точке булавкой. При повороте одного из многоугольников около этой "оси" на 25o30$\scriptstyle \prime$ он снова совместился со вторым многоугольником. Каково наименьшее возможное число сторон таких многоугольников?

Решение

Ответ: 240. Прежде всего заметим, что $ {\frac{1}{360}}$ . 25$ {\frac{1}{2}}$ = $ {\frac{17}{240}}$, причём числа 17 и 240 взаимно простые. Рассмотрим луч, идущий из к осик в вершину первого многоугольника. Повороты этого луча вокруг к осик на углы k . 25o30$\scriptstyle \prime$, где k = 1, 2, ..., 240, различны. Действительно, если повороты луча на углы k1 . 25o30$\scriptstyle \prime$ и k2 . 25o30$\scriptstyle \prime$ совпадают, то число $ {\frac{(k_1-k_2)17}{240}}$ целое, а значит, k1 - k2 делится на 240. На каждом из этих 240 лучей есть вершина многоугольника, поэтому число сторон многоугольника не меньше 240. С другой стороны, при повороте правильного 240-угольника на угол 25o30$\scriptstyle \prime$ вокруг центра он совмещается сам с собой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 8
Год 1945
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .