ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76530
Тема:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из тридцати пунктов A1, A2, ..., A30, расположенных на прямой MN на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой MN и образуют с MN следующие углы:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
$\displaystyle \alpha$ 60o 30o 15o 20o 155o 45o 10o 35o 140o 50o 125o 65o 85o 86o 80o
  16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
$\displaystyle \alpha$ 75o 78o 115o 95o 25o 28o 158o 30o 25o 5o 15o 160o 170o 20o 158o
                               

Из всех тридцати пунктов выезжают одновременно тридцать автомобилей, едущих, никуда не сворачивая, по этим дорогам с одинаковой скоростью. На каждом из перекрёстков установлено по шлагбауму. Как только первая по времени машина проезжает перекрёсток, шлагбаум закрывается и преграждает путь всем следующим машинам, попадающим на этот перекрёсток. Какие из машин проедут все перекрёстки на своём пути, а какие застрянут?
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Ответ: нигде не будут задержаны машины с номерами 14, 23 и 24. Пусть an — дорога, выходящая из пункта An, $ \alpha_{n}^{}$ — угол, который образует дорога an с прямой MN, Pmn — перекрёсток дорог an и am. (1) Если машина am задерживается на перекрёстке Pnm, то угол $ \alpha_{n}^{}$ ближе к 90o, чем угол $ \alpha_{m}^{}$ (дорога an круче, чем дорога am). (2) Пусть m < n. Тогда дороги am и an пересекаются, если $ \alpha_{m}^{}$ < $ \alpha_{n}^{}$, и не пересекаются, если $ \alpha_{m}^{}$$ \ge$$ \alpha_{n}^{}$. (3) Если все дороги, пересекающие an, менее круты, чем дорога an, то машина an нигде не задержится. Это следует из (1). (4) Пусть am — самая крутая из дорог, пересекающих an. Если am круче an, то am не может быть задержана раньше перекрёстка Pnm. Действительно, предположим, что машина am задерживается на перекрёстке Pqm, лежащем на отрезке AmPmn. Тогда согласно (1) дорога aq круче дороги am, а значит, по условию она не может пересекать an. Покажем, что это невозможно. Рассмотрим сначала случай, когда точка Aq лежит вне отрезка AnAm. Прямая aq пересекает сторону AmPnm треугольника AmPnmAn и не пересекает сторону AmAn, поэтому она пересекает сторону PnmAn, а этого не может быть. Рассмотрим теперь случай, когда точка Aq лежит внутри отрезка AnAm. Пусть сначала n < q < m. Дороги an и am, aq и am пересекаются, а дороги aq и an не пересекаются. Поэтому из (2) следует, что $ \alpha_{q}^{}$$ \le$$ \alpha_{n}^{}$ < $ \alpha_{m}^{}$. Угол $ \alpha_{m}^{}$ ближе к 90o, чем угол $ \alpha_{n}^{}$, поэтому неравенство $ \alpha_{n}^{}$ < $ \alpha_{m}^{}$ возможно лишь при $ \alpha_{n}^{}$ < 90o. Но тогда из неравенства $ \alpha_{q}^{}$$ \le$$ \alpha_{n}^{}$ следует, что дорога aq не более крута, чем дорога an, что противоречит условию. Случай n > q > m рассматривается аналогично. (5) Если машина an проходит через все перекрёстки, то все дороги, пересекающие an, менее круты, чем дорога an; это следует из (4) и (1). Итак, из (3) и (5) следует, что машина an проходит через все перекрёстки тогда и только тогда, когда все дороги, пересекающие an, менее круты, чем дорога an. Теперь уже легко получить требуемый результат.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 9
Год 1946
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 9
Год 1946
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .