|
|
 |
Условие
В каком из выражений: (1 – x² + x³)1000, (1 + x² – x³)1000 после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x20?
Решение
Пусть P(x) = (1 – x² + x³)1000 и Q(x) = (1 + x² – x³)1000. Коэффициент при x20 у многочлена P(x) такой же, как у многочлена P(– x) = (1 – x² – x³)1000, а у многочлена Q(x) такой же, как у многочлена Q(– x) = (1 + x² + x³)1000. Но у многочлена (1 + x² + x³)1000 коэффициент при x20 больше, чем у многочлена (1 – x² – x³)1000. Действительно, у первого многочлена член p20x20 равен сумме нескольких выражений вида (x²)n(x³)m, где
2n + 3m = 20, а у второго многочлена член q20x20 равен сумме тех же самых выражений, но со знаком (–1)n+m. Во втором случае встречаются члены со знаком минус, например, при m = 2 и n = 7.
Ответ
В выражении (1 + x2 – x3)1000.
