ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76550
Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Правильные многогранники ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

k проволочных треугольников расположены в пространстве так, что: 1) каждые 2 из них имеют ровно одну общую вершину, 2) в каждой вершине сходится одно и то же число p треугольников. Найдите все значения k и p, при которых указанное расположение возможно.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Ответ: (k, p) = (1, 1), (4, 2) или (7, 3). Сначала докажем, что p$ \le$3. Предположим, что p$ \ge$4. Возьмём треугольник $ \Delta_{1}^{}$. К его вершине A примыкает треугольник $ \Delta_{2}^{}$. К вершине B$ \ne$A треугольника $ \Delta_{2}^{}$ примыкают треугольники $ \Delta_{3}^{}$, $ \Delta_{4}^{}$, $ \Delta_{5}^{}$; все они отличны от $ \Delta_{1}^{}$, поскольку иначе треугольники $ \Delta_{1}^{}$ и $ \Delta_{2}^{}$ имели бы две общие вершины. По условию каждый из треугольников $ \Delta_{3}^{}$, $ \Delta_{4}^{}$, $ \Delta_{5}^{}$ имеет общую вершину с треугольником $ \Delta_{1}^{}$, причём эта вершина отлична от A. Но из этого следует, что два из треугольников $ \Delta_{3}^{}$, $ \Delta_{4}^{}$, $ \Delta_{5}^{}$ имеют общую вершину, отличную от B. Если p = 1, то k = 1 (если бы было хотя бы 2 треугольника, то они имели бы общую вершину, а тогда p$ \ge$2). Пусть в каждой вершине сходятся p$ \ge$2 треугольников. Фиксируем один из треугольников. К каждой его вершине примыкает p - 1 треугольников, т.е. всего к нему примыкает 3(p - 1) треугольников. Все эти треугольники различны, и других треугольников нет, поскольку любые два треугольника должны иметь общую вершину. Значит, всего получаем 3(p - 1) + 1 = 3p - 2 треугольников. Чтобы построить конфигурацию, для которой (k, p) = (4, 2), можно взять октаэдр и выбросить половину его граней, оставив только треугольники, не имеющие общих сторон. Чтобы построить конфигурацию, для которой (k, p) = (7, 3), можно взять тетраэдр, поместить внутрь его треугольник ABC и для каждой вершины треугольника ABC взять треугольник, образованный этой вершиной и одним из двух несмежных рёбер тетраэдра (для каждой вершины треугольника ABC берётся своя пара несмежных рёбер тетраэдра).
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 10
Год 1947
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .