Задача 77918

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Перебор случаев ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что многочлен  x¹² – x⁹ + x⁴ – x + 1  при всех значениях x положителен.

Решение

Если  x ≤ 0,  то  x¹² – x⁹ + x⁴ – x ≥ 0.  Если  0 < x < 1,  то   x¹² + x⁴(1 – x⁵) + (1 – x) > 0.  Если  x ≥ 1,  то   x⁹(x³ – 1) + x(x³ – 1) + 1 > 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	14
Год	1951
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	1