Условие
Проекцией точки
A из точки
O на плоскость
P называется точка
A', в
которой прямая
OA пересекает плоскость
P. Проекцией треугольника
называется фигура, состоящая из всех проекций его точек. Какими фигурами может
быть проекция треугольника, если точка
O не лежит в его плоскости?
Решение
Пусть
ABC — данный треугольник. Рассмотрим полный трёхгранный угол
OABC с
вершиной
O, состоящий из двух трёхгранных углов (рёбрами одного угла являются
лучи
OA,
OB,
OC, а рёбрами другого — их продолжения). Проекция
треугольника
ABC на плоскость
P совпадает с пересечением плоскости
P и
полного трёхгранного угла
OABC. В зависимости от взаимного расположения
плоскости и трёхгранного угла возникают следующие варианты.
1) Плоскость
P параллельна двум рёбрам и пересекает третье. В проекции
получается угол.
2) Плоскость
P параллельна одному ребру и пересекает два других, причём оба
-- с одной стороны от вершины
O. В проекции получается полоса, ограниченная
двумя параллельными прямыми и пересекающими их третьей прямой.
3) Плоскость
P параллельна одному ребру и пересекает два других, причём по
разные стороны от вершины
O. В проекции получаются два угла, у которых
сторона одного служит продолжением стороны другого, а две другие стороны
параллельны и противоположно направлены.
4) Плоскость
P пересекает все три ребра, причём все три — с одной стороны
от вершины
O. В проекции получается треугольник.
5) Плоскость
P пересекает все три ребра, причём два — с одной стороны от
вершины
O, а одно — с другой. В проекции получается фигура, состоящая из
угла и бесконечной фигуры, которая ограничена продолжениями сторон этого угла и
прямой, их пересекающей.
Источники и прецеденты использования
