ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 77947
Темы:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

$ \Delta$ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в $ \Delta$ABD и $ \Delta$DBC, больше радиуса окружности, вписанной в $ \Delta$ABC.

Решение

Пусть r, r1 и r2 — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, ABD и BCD, p, p1 и p2 — их полупериметры, S, S1 и S2 — их площади. Тогда S = S1 + S2, S = pr, S1 = p1r1 и S2 = p2r2. Поэтому r = $ {\frac{p_1}{p}}$r1 + $ {\frac{p_2}{p}}$r2. Но BD < BC + CD, поэтому p1 < p; аналогично p2 < p. Следовательно, r < r1 + r2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 15
Год 1952
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .