Задача 77951
|
|
 |
Условие
В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к
прямой SO.
Решение
Пусть A, B и C – точки касания сферы с гранями. Радиус OA перпендикулярен касательной SA, поэтому ∠SAO = 90°. Аналогично ∠SBO = ∠SCO = 90°. В прямоугольных треугольниках SAO, SBO и SCO катеты AO, BO и CO равны (они равны радиусу сферы), поэтому равны и сами треугольники. Следовательно, проекции вершин A, B и C на гипотенузу SO совпадают. Но это и означает, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABC.
