ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78036
Тема:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти все действительные решения системы
   x³ + y³ = 1,
   x4 + y4 = 1.


Решение

  Если  x = 0  или ±1, то  y = ±1  или 0. Ясно также, что  x ≠ –1  и  y ≠ –-1.  Поэтому решений такого вида ровно два:  (0, 1)  и  (1, 0).  Покажем, что других решений нет.
  Нас интересует случай, когда  0 < |x|, |y| < 1.  В таком случае  |x|³ + |y|³ < x4 + y4 = 1.  Поэтому если числа x и y оба положительны, то решений нет. Если оба эти числа отрицательны, то решений тоже нет. Пусть теперь, например,  x > 0  и  y > 0.  Тогда  x³ + y³ < x³ < 1.  В этом случае решений тоже нет.


Ответ

{1, 0}.

Замечания

Ср. с задачей 109027.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 18
Год 1955
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 18
Год 1955
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .