|
|
 |
Условие
Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.
Решение
Таблица симметрична относительно диагонали, поэтому каждому числу, расположенному вне диагонали, соответствует равное ему число на симметричном месте. Значит, вне диагонали расположено чётное число единиц, чётное число двоек и т.д. По условию в каждой строке встречаются все числа от 1 до n. Поэтому в каждой строке каждое число от 1 до n встречается ровно один раз, а всего в таблице оно встречается ровно n раз. Число n нечётно, поэтому каждое число от 1 до n встречается на диагонали нечётное число раз; в частности, каждое число от 1 до n встречается на диагонали по крайней мере один раз. Но на диагонали всего n мест, поэтому каждое число от 1 до n встречается на диагонали ровно один раз.
