ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78043
Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда  a = b = 0.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Ясно, что  a ≥ 0  и  c ≥ 0.  Рассмотрим значения x, равные 1, 2, ..., n. Если хотя бы одно из чисел a и b отлично от нуля, то трёхчлен  ax² + bx + c  при таких x принимает по крайней мере n/2 различных значений. Эти значения заключены между 0 и  an² + |b|n + c.  Но количество различных точных четвёртых степеней, заключённых в этих пределах, не превосходит   + 1.  Поэтому   + 1 ≥ n/2,  то есть  an² + |b|n + c ≥ (n/2 – 1)4.  При больших n такое неравенство выполняться не может, поскольку  n4/16 будет гораздо больше чем an².


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 18
Год 1955
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .