ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78060
Темы:    [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Системы точек ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что не существует на плоскости четырех точек A, B, C и D таких, что все треугольники ABC, BCD, CDA, DAB остроугольные.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Мы предполагаем, что никакие три из четырёх данных точек не лежат на одной прямой. Возможны два различных расположения четырёх точек на плоскости. 1) Точки A, B, C и D являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Сумма углов четырёхугольника равна 360o, поэтому не все его углы острые. Возьмём не острый угол четырёхугольника; ему соответствует не остроугольный треугольник. 2) Точки A, B, C и D не являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Тогда одна из них лежит внутри треугольника с вершинами в остальных точках. Пусть для определённости точки D лежит внутри треугольника ABC. Сумма трёх углов с вершиной D равна 360o, поэтому один из них не меньше 120o. Значит, угол при вершине D в одном из треугольников BCD, CDA, DAB не острый.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 19
Год 1956
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .