Задача 78087

Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Взяли три числа x, y, z. Вычислили абсолютные величины попарных разностей x₁ = |x - y|, y₁ = |y - z|, z₁ = |z - x|. Тем же способом по числам x₁, y₁, z₁ построили числа x₂, y₂, z₂ и т.д. Оказалось, что при некотором n x_n = x, y_n = y, z_n = z. Зная, что x = 1, найти y и z.

Решение

Ответ: y = z = 0. Числа x_n, y_n, z_n неотрицательны, поэтому числа x, y, z тоже неотрицательны. Если бы все числа x, y, z были положительны, то наибольшее из чисел x₁, y₁, z₁ было бы строго меньше наибольшего из чисел x, y, z, а тогда и наибольшее из чисел x_n, y_n, z_n было бы строго меньше наибольшего из чисел x, y, z. Поэтому среди чисел x, y, z есть 0. Аналогично доказывается, что среди чисел x₁, y₁, z₁ есть 0 (при n = 1 доказывать ничего не нужно, потому что тогда x₁ = x, y₁ = y, z₁ = z). Это означает, что два из чисел x, y, z равны. В итоге получаем, что неупорядоченный набор чисел x, y, z может быть равен либо 0, 0, 1, либо 0, 1, 1. Очевидно, что второй набор не обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3