Условие
Найти все равнобочные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.
Решение
Пусть
ABCD — равнобочная трапеция с основаниями
AD и
BC, причём
AD >
BC. Предположим, что диагональ
AC разбивает её на два равнобедренных треугольника
ABC и
ADC. Неравенства
AC >
BC и
AC >
AB показывают, что
AC — основание равнобедренного треугольника
ABC. Ясно также, что в треугольнике
ADC сторона
DC наименьшая, поэтому
AC =
AD. Если α и β — углы при основаниях равнобедренных треугольников
ABC и
ADC, то
α + 2β = π и
π - 2α + β = π, поэтому
α = π/5 и
β = 2π/5. Таким образом,
ABCD — трапеция, которую отсекает от правильного пятиугольника его диагональ.
Источники и прецеденты использования
