ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78098
Темы:    [ Концентрические окружности ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.

Решение

Ответ: три концентрические окружности (с тем же центром) с радиусами r, R и $ \sqrt{2R^2-r^2}$, где R > r — радиусы исходных окружностей. Пусть вершины A, B и D прямоугольника ABCD лежат на двух концентрических окружностях. Противоположные вершины B и D не могут лежать на меньшей окружности. Действительно, если вершина A лежит на большей окружности, а вершины B и D — на меньшей, то $ \angle$BAD = 90o и поэтому B и D — концы диаметра большей окружности, чего не может быть. Поэтому возможны следующие два варианта. 1) Две соседние вершины вершины лежат на одной окружности, а третья вершина — на второй. Тогда четвёртая вершины тоже лежит на второй окружности. В результате получаем исходные окружности. 2) Противоположные вершины B и D лежат на большей окружности, а вершина A -- на меньшей. Пусть O — общий центр окружностей. Тогда OA = r, OB = OD = R. Поэтому OC = $ \sqrt{OB^2+OD^2-OA^2}$ = $ \sqrt{2R^2-r^2}$; равенство OB2 - OA2 = OC2 - OD2 легко проверяется с помощью теоремы Пифагора.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .