ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78099
Тема:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.

Решение

Ответ: квадрат. Пусть a и b — длины сторон параллелограмма, α — острый угол между его сторонами, S — площадь, d — наибольшая диагональ. Тогда d2 = a2 + b2 + 2ab cosα и ab sinα = S. Поэтому d2 ≥ a2 + b2 и ab ≥ S, причём в обоих случаях равенство достигается лишь при α = 90o. Далее, a2 + b2 ≥ 2ab, поэтому d2 ≥ 2S, причём равенство достигается лишь в том случае, когда a = b и α = 90o, т.е. когда параллелограмм является квадратом.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .