Задача 78101

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Известно, что  ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e,  где a, b, c, d, e – данные целые числа, при любом целом x делится на 7.
Доказать, что все числа a, b, c, d, e делятся на 7.

Решение

Подставив  x = 0,  получим, что e кратно 7. Учитывая это и подставляя  x = ±1,  получим, что числа  a ± b + c ± d  кратны 7. Поэтому  2(a + c)  и  2(b + d)  кратны 7, а значит,  a + c  и  b + d  кратны 7. Подставляя  x = ±2  и учитывая, что e кратно 7, получаем, что числа  2(8a ± 4b + 2c ± d)  кратны 7. Поэтому
4a + c  и  4b + d  кратны 7. Следовательно,  3a = (4a + c) – (a + c)  кратно 7. Поэтому a кратно 7, а значит, c кратно 7. Аналогично доказывается, что b и d кратны 7.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.086
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	5