ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78101
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что  ax4 + bx³ + cx² + dx + e,  где a, b, c, d, e – данные целые числа, при любом целом x делится на 7.
Доказать, что все числа a, b, c, d, e делятся на 7.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Подставив  x = 0,  получим, что e кратно 7. Учитывая это и подставляя  x = ±1,  получим, что числа  a ± b + c ± d  кратны 7. Поэтому  2(a + c)  и  2(b + d)  кратны 7, а значит,  a + c  и  b + d  кратны 7. Подставляя  x = ±2  и учитывая, что e кратно 7, получаем, что числа  2(8a ± 4b + 2c ± d)  кратны 7. Поэтому
4a + c  и  4b + d  кратны 7. Следовательно,  3a = (4a + c) – (a + c)  кратно 7. Поэтому a кратно 7, а значит, c кратно 7. Аналогично доказывается, что b и d кратны 7.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 3
Название Сравнения
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер 04.086
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 20
Год 1957
вариант
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .