Информация о задаче

Задача 78127

Темы:	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]

Сложность: 4
Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = 4.

Решение

Опустим из точки O перпендикуляры OA₁, OB₁, OC₁ и OD₁ на грани. Из точки G тоже опустим перпендикуляры GA₂, GB₂, GC₂ и GD₂ на грани. Ясно, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = $\displaystyle {\frac{OA_1}{GA_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OB_1}{GB_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OC_1}{GC_2}}$ + $\displaystyle {\frac{OD_1}{GD_2}}$

и GA₂ = GB₂ = GC₂ = GD₂ = x. Остаётся доказать, что OA₁ + OB₁ + OC₁ + OD₁ = 4x. Пусть a — длина ребра правильного тетраэдра ABCD, V — объём тетраэдра. Тогда

a(OA₁ + OB₁ + OC₁) = 3V.

Поэтому сумма OA₁ + OB₁ + OC₁ + OD₁ одна и та же для всех точек O внутри тетраэдра ABCD. Но если O совпадает с G, то эта сумма равна 4x.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	20
Год	1957
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	3