Задача 78130

Темы:    [ Симметричная стратегия ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Имеется система уравнений

    *x + *y + *z = 0,
    *x + *y + *z = 0,
    *x + *y + *z = 0.

Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Решение

Вот одна из возможных стратегий. Начинающий первым ходом записывает произвольный коэффициент при z в первом уравнении. Далее, если второй записывает какой-то коэффициент при x или при y, то первый записывает в том же самом уравнении при y или при x такой же коэффициент. Если же второй записывает какой-то коэффициент при z, то первый записывает произвольный коэффициент при z в оставшемся уравнении. Полученная система имеет решение  (1, –1, 0).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	7
Тур	1
задача
Номер	1
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	4
Название	Системы линейных уравнений
Тема	Системы линейных уравнений
задача
Номер	09.097