ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78134
Темы:    [ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана следующая треугольная таблица чисел:

Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме двух ближайших чисел предыдущей строчки.
Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.


Решение

Нас интересуют не сами числа, а их остатки от деления на 1958. Поэтому будем записывать в таблицу остатки от деления на 1958. Первая строка таблицы при симметрии относительно среднего числа  1958/2 = 979  преобразуется следующим образом: остаток k переходит в –k (сумма чисел, равноудалённых от концов строки, делится на 1958). Следовательно, при симметрии относительно прямой, проходящей через средние числа, таблица преобразуется так, что остаток k переходит в –k. Если в какой-то строке таблицы стоят числа  a1, a2, ..., an, сумма которых равна S, то в следующей строке стоят числа  a1 + a2a2 + a3,  ...,  an–1 + an,  сумма которых равна  2S – a1an.  В нашей таблице  a1 + an = 0,  поэтому при переходе к следующей строке сумма остатков каждый раз удваивается. В первой строке сумма остатков равна 979, поэтому во всех остальных строках сумма остатков равна 0. В частности, в последней строке стоит число, кратное 1958.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 21
Год 1958
вариант
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .