ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78162
Темы:    [ Покрытия ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Обозначим через a наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник M, через b — наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника M. Какое из чисел больше, a или b?

Решение

Ответ: a$ \ge$b. Рассмотрим произвольную расстановку непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами (обозначим их через Ai), лежащими внутри многоугольника M. Тогда все Ai лежат внутри многоугольника M и расстояние между любыми двумя из них больше 2. А значит, в любом круге покрытия многоугольника M кругами радиуса 1 может содержаться не более одной из точек Ai. Тем самым получили, что a$ \ge$b.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 21
Год 1958
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .