ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78220
Тема:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны числа $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Решение

Расположим числа $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, ..., $ \alpha_{k}^{}$ в порядке убывания их абсолютных величин:

$\displaystyle \beta_{1}^{}$,$\displaystyle \beta_{2}^{}$,...,$\displaystyle \beta_{k}^{}$;    |$\displaystyle \beta_{1}^{}$|$\displaystyle \ge$|$\displaystyle \beta_{2}^{}$|$\displaystyle \ge$...$\displaystyle \ge$|$\displaystyle \beta_{k}^{}$|,

и соотношение

$\displaystyle \beta_{1}^{n}$ + $\displaystyle \beta_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \beta_{k}^{n}$ = 0

разделим на $ \beta_{1}^{n}$:

1 + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ = 0. (1)

Обозначим через $ \beta_{l+1}^{}$ первое число, абсолютная величина которого отлична от абсолютной величины числа $ \beta_{1}^{}$:

|$\displaystyle \beta_{1}^{}$| = |$\displaystyle \beta_{2}^{}$| = ... = |$\displaystyle \beta_{l}^{}$| > |$\displaystyle \beta_{l+1}^{}$|$\displaystyle \ge$...$\displaystyle \ge$|$\displaystyle \beta_{k}^{}$|.

Соотношение (1) перепишется тогда таким образом:

±1±1±...±1 + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ = 0. (2)

Выберем теперь n столь большим, чтобы $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ было меньше, чем $\displaystyle {\frac{1}{2(k-l)}}$; это всегда можно сделать, так как последовательность

$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{2}_{}$, ...,$\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$,...

представляет собой убывающую геометрическую прогрессию (заметим, что |$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$| < 1). При таком выборе n абсолютная величина суммы

S = $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{l+1}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$ + ... + $\displaystyle \Bigl($$\displaystyle {\frac{\beta_{k}}{\beta_{1}}}$$\displaystyle \Bigr)^{n}_{}$

будет, очевидно, меньше $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$. Ясно теперь, что количество +1 и -1 в равенстве (2) должно быть одинаковым, так как сумма S, меньшая $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ по абсолютной величине, не сможет компенсировать избытка, представляющего собой (положительное или отрицательное) целое число. Итак, числа, равные по абсолютной величине числу $ \beta_{1}^{}$, разбиваются на пары в соответствии с утверждением задачи. Исключив эти числа из рассмотрения (что возможно, так как их сумма равна 0), мы проведём точно те же рассуждения для оставшихся чисел и так далее, пока не исчерпаем всех чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .