ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78244
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел ( x1, x2,..., xn) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма a1x1 + ... + anxn, где (a1...an) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?

Решение

Покажем, что задуманный набор можно определить, задав всего один вопрос. Именно, достаточно взять

a1 = 100,    a2 = 1002,..., an = 100n.

Тогда сообщённая нам сумма равна

S1 = 100x1 + 1002x2 + ... + 100nxn.

Рассмотрим теперь соотношение

$\displaystyle {\frac{S_{1}}{100^{n}}}$ = $\displaystyle {\frac{100x_{1}+100^{2}x_{2}+\dots
+100^{n-1}x_{n-1}}{100^{n}}}$ + xn

и покажем, что

$\displaystyle \Bigl\vert$$\displaystyle {\frac{100x_{1}+100^{2}x_{2}+\dots
+100^{n-1}x_{n-1}}{100^{n}}}$$\displaystyle \Bigr\vert$ < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{10}}$.

Действительно,

\begin{multline*}
\vert 100x_{1}+100^{2}x_{2}+\dots +100^{n-1}x_{n-1}\vert\le 1...
... x_{n-1}\vert\le\\
\le 9\cdot (100+100^{2}+\dots +100^{n-1}),
\end{multline*}

так как x1, x2, ..., xn - 1 — однозначные числа. Число 9(100 + 1002 + ... + 100n - 1), как легко понять, имеет 2n - 1 десятичных знаков и состоит из нулей и девяток, т. е. оно меньше, чем $ \underbrace{99\dots
999}_{\mbox{$2n-1$\ цифра}}^{}\,$, и подавно меньше, чем 102n - 1. Таким образом, интересующее нас отношение меньше, чем

$\displaystyle {\frac{10^{2n-1}}{100^{n}}}$ = $\displaystyle {\frac{10^{2n}\cdot\frac{1}{10}}{10^{2n}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{10}}$.

Мы показали, что отношение $\displaystyle {\frac{S_{1}}{100^{n}}}$ отличается от целого числа хn меньше, чем на $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{10}}$; это, очевидно, позволяет однозначно определить хn. Зная хn, мы можем найти сумму

S2 = S1 - 100nxn = 100x1 + 1002x2 + ... + 100n - 1xn - 1

и по ней найти хn - 1 (разделив на 100n - 1), и т. д. Замечание. Если все числа x1, x2, ..., xn положительны, то S1 представляет собой число, у которого на нечётных местах стоят цифры xi, а на чётных местах — нули, так что решение задачи в этом случае особенно просто.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .