ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78294
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Комбинаторика орбит ]
[ Многоугольники (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан неправильный n-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол  α ≠ 2π   совмещается сам с собой. Доказать, что n – число составное.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Предположим, что n  – простое число. Рассмотрим орбиту каждой вершины, т. е. множество точек, в которые переходит вершина при поворотах, переводящих n-угольник в себя. Все орбиты состоят из одного количества вершин – их столько, сколько геометрически различных углов поворота, совмещающих n-угольник с собой. Из этого следует, что орбита одна, поскольку n – простое. Но тогда каждые две вершины можно совместить поворотом, а значит, все стороны и все углы многоугольника равны, то есть n-угольник – правильный. Противоречие.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 25
Год 1962
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .