ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78295
Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из чисел x1, x2, x3, x4, x5 можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через a1, a2, ..., a10. Доказать, что зная числа a1, a2, ..., a10 (но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа x1, x2, x3, x4, x5.

Решение

Упорядочим данные и искомые числа по возрастанию: x1$ \le$x2$ \le$x3$ \le$x4$ \le$x5, a1$ \le$a2$ \le$...$ \le$a10. Так как каждое число входит ровно в четыре суммы, a1 + ... + a10 = 4(x1 + ... + x5), т. е по числам ai можно восстановить сумму  x1 + ... + x5. Далее, ясно, что  a1 = x1 + x2, a2 = x1 + x3, a9 = x3 + x5, a10 = x4 + x5. Следовательно, можно восстановить число  x3 = (x1 + ... + x5) - (x1 + x2) - (x4 + x5) = (x1 + ... + x5) - a1 - a10, а по нему вычислить  x1 = a2 - x3, x2 = a1 - x1, x5 = a9 - x3 и  x4 = a10 - x5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 25
Год 1962
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 25
Год 1962
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .