Задача 78299

Темы:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Неравенства с площадями ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

Решение

Полученный многоугольник содержит фигуру, которая состоит из точек, удалённых от исходного многоугольника не более чем на d = 1. Для выпуклого многоугольника площади S и периметра P такая фигура имеет площадь S + dP + d². В нашем случае эта фигура имеет площадь S + 12 + > S + 15.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	25
Год	1962
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3