ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78511
Тема:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC высоты, опущенные на стороны AB и BC, не меньше этих сторон соответственно. Найти углы треугольника.

Решение

Ответ: $ \angle$B = 90o, $ \angle$A = $ \angle$C = 45o. Пусть CH и AK — высоты треугольника ABC. По условию CH$ \ge$AB и AK$ \ge$BC. А так как перпендикуляр короче наклонной, то AB$ \ge$AK и BC$ \ge$CH. Объединяя все эти неравенства, получаем CH$ \ge$AB$ \ge$AK$ \ge$BC$ \ge$CH. Следовательно, все эти неравенства обращаются в равенства. В частности, AB = BC, т.е. треугольник равнобедренный. Кроме того, равенство AB = AK означает, что высота AK совпадает со стороной AB, т.е. $ \angle$B = 90o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 8
Тур 1
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .