ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78536
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника A1A2...A7 взята произвольно точка O. Обозначим через H1, H2,..., H7 основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны A1A2, A2A3,..., A7A1 соответственно. Известно, что точки H1, H2,..., H7 лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. Доказать, что A1H1 + A2H2 + ... + A7H7 = H1A2 + H2A3 + ... + H7A1.

Решение

Пусть без ограничения общности сторона семиугольника равна 1. Пусть xi=AiHi , hi=OHi , будем считать A8=A1 , H8=H1 . По теореме Пифагора Ai+1Hi2+OHi2=OAi+12=Ai+1Hi+12+OHi+12 , то есть 1-2xi+xi2+hi2=xi+12+hi+12 . Складывая такие равенства для каждого i=1,..7 , получаем 7-2(x1+..x7)=0 . Это как раз означает, что A1H1 + A2H2 + ... + A7H7 = H1A2 + H2A3 + ... + H7A1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .