ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78557
Темы:    [ Покрытия ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной длины коридора.

Решение

Выберем среди всех кусков ковровой дорожки, покрывающих левый конец коридора, тот, у которого правый конец самый правый, и обозначим этот кусок I1. После того как выбран кусок Ik, выбираем среди всех кусков, покрывающих его правый конец, тот, у которого правый конец самый правый. Таким образом выберем несколько кусков, полностью покрывающих коридор. Остается доказать, что сумма их длин не превосходит 2. Кусок Ik + 2 не имеет общих точек с Ik, так как иначе вместо Ik + 1 мы должны были бы выбрать Ik + 2. Поэтому каждая точка коридора длиной 1 покрыта не более чем двумя кусками Ik, т. е. сумма длин этих кусков не превосходит  2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 28
Год 1965
вариант
1
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .