Условие
Окружности
O1 и
O2 лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне,
причём окружность
O1 касается двух сторон треугольника, а окружность
O2
-- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что
O1. Доказать,
что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в
треугольник.
Решение
Пусть окружность
O1 касается сторон
AC и
AB
треугольника
ABC, окружность
O2 касается сторон
BC и
AB,
O —
вписанная окружность. Обозначим радиусы окружностей
O,
O1 и
O2
через
r,
r1 и
r2. Пусть треугольники
AB1C1 и
A2BC2 подобны
треугольнику
ABC, причём
коэффициенты подобия равны
r1/
r и
r2/
r соответственно. Окружности
O1
и
O2 являются вписанными для треугольников
AB1C1 и
A2BC2.
Следовательно, эти треугольники пересекаются, так как иначе окружности
O1
и
O2 не имели бы общих точек. Поэтому
AB1 +
A2B >
AB, т. е.
r1 +
r2 >
r.
Источники и прецеденты использования
