Задача 78568

Темы:    [ Последовательности (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Дана последовательность ..., a_-n,..., a_-1, a₀, a₁,..., a_n,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).

Решение

Пусть a_i=a_j для некоторых i<j . Докажем тогда, что a_i+k=a_j-k для всех k – из этого будет следовать утверждение задачи. Докажем это вначале для 1 k j-i-1 . Пусть число k из этого промежутка таково, что величина |a_i+k-a_j-k| максимальна. Тогда 4|a_i+k-a_j-k|=|a_i+k-1+a_i+k+1-a_j-k-1-a_j-k+1| |a_i+k-1-a_j-k-1|+|a_i+k+1-a_j-k+1| 2|a_i+k-a_j-k| . Следовательно, |a_i+k-a_j-k|=0 . Поскольку мы выбрали разность с максимальным модулем, то a_i+k=a_j-k для любого 1 k j-i-1 . Теперь индукцией по k легко доказать, что a_i+k=a_j-k при всех k , поскольку из равенств a_i-k+2=a_j+k-2 и a_i-k+1=a_j+k-1 следует равенство a_i-k+2=a_j+k-2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	28
Год	1965
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1