ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78590
Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник (вершины могут лежать как внутри, так и на окружности). Доказать, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Решение

Предположим сначала, что центр O окружности лежит внутри данного пятиугольника  A1A2A3A4A5. Рассмотрим углы   A1OA2, A2OA3,..., A5OA1. В сумме эти пять углов дают 2$ \pi$, поэтому один из них, например A1OA2, не превосходит 2$ \pi$/5. Тогда отрезок A1A2 можно поместить в сектор OBC, где  $ \angle$BOC = 2$ \pi$/5 и точки B и C расположены на окружности. Докажем, что любой отрезок MN, расположенный в треугольнике ABC, не больше наибольшей стороны. Пусть прямая MN пересекает стороны треугольника в точках M1 и N1. Ясно, что  MN$ \le$M1N1. Пусть точка M1 лежит на стороне AB, а точка N1 — на BC. Так как  $ \angle$AM1N1 + $ \angle$BM1N1 = 180o, то один из этих углов не меньше  90o. Пусть для определённости  $ \angle$AM1N1$ \ge$90o. Тогда  AN1$ \ge$M1N1, так как против большего угла лежит большая сторона. Аналогично доказывается, что либо  AN1$ \le$AB, либо  AN1$ \le$AC. Следовательно, длина отрезка MN не превосходит длины отрезка с концами в вершинах треугольника. В треугольнике OBC наибольшей стороной является BC, поэтому  A1A2$ \le$BC. Если точка O не принадлежит данному пятиугольнику, то углы  A1OA2,..., A5OA1 дают в объединении угол меньше $ \pi$, причём каждая точка этого угла покрыта ими дважды. Поэтому в сумме эти пять углов дают меньше 2$ \pi$, т. е. один из них меньше 2$ \pi$/5. Дальнейшее доказательство аналогично предыдущему случаю. Если точка O лежит на стороне пятиугольника, то один из рассматриваемых углов не больше $ \pi$/4, а если она является его вершиной, то один из них не больше $ \pi$/3. Ясно, что  $ \pi$/4 < $ \pi$/3 < 2$ \pi$/5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 29
Год 1966
вариант
1
Класс 9,10,11
Тур 1
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .