ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78592
Тема:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?


Решение

  Рассмотрим некоторую расстановку дамок, удовлетворяющую условию. Дамку, стоящую на краю доски, не может бить никакая другая дамка, а значит, все дамки стоят во "внутреннем" квадрате 6×6. Заметим, что ни в одном из квадратов 3×3 не может быть больше четырёх дамок. Действительно, если в одном из них пять дамок,то центральная его клетка – черная, и дамки стоят на всех чёрных полях этого квадрата. Но тогда дамку, стоящую в центре квадрата, не бьёт ни одна дамка. Следовательно, в квадрате 6×6 может стоять не более  4·4 = 16  дамок.
Пример расстановки шестнадцати дамок приведён на рисунке.


Ответ

16 дамок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 29
Год 1966
вариант
1
Класс 9,10,11
Тур 1
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .