ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78605
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется лабиринт, состоящий из n окружностей, касающихся прямой AB в точке M. Все окружности расположены по одну сторону от прямой, а их длины составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Два человека в разное время начали ходить по этому лабиринту. Их скорости одинаковы, а направления движения различны. Каждый из них проходит все окружности по порядку, и, пройдя наибольшую, снова идет в меньшую. Доказать, что они встретятся.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Докажем, что они обязательно встретятся на самой большой окружности. Для этого достаточно доказать, что в какой-то момент времени один из них зайдёт на эту окружность, когда другой будет по ней идти. Если в тот момент, когда первый человек, пройдя вторую по величине окружность, заходит на самую большую, второй уже идёт по самой большой окружности, то они обязательно встретятся. Если же второй находится на какой-нибудь другой окружности, то, так как длина самой большой окружности больше суммы длин всех остальных, второй успеет пройти все оставшиеся ему окружности и зайти на самую большую до того, как первый пройдёт её полностью, а значит, и в этом случае они встретятся, причём на самой большой окружности.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 30
Год 1967
вариант
1
Класс 9
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .