ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78631
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Процессы и операции ]
[ Доказательство от противного ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются всевозможные n-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется n-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Решение

Докажем, что есть два числа, различающиеся лишь одной цифрой, к которым приписываются разные цифры. Действительно, предположим, что к любым двум числам, различающимся лишь одной цифрой, приписываются одинаковые цифры. Тогда по индукции доказывается, что к любым двум числам, различающимся k цифрами, приписываются одинаковые цифры. Для k=n получаем противоречие с условием. Значит, есть два числа X=a1a2..ak-1xak+1..an и Y=a1a2..ak-1yak+1..an , различающиеся только одной цифрой, к которым приписываются разные цифры p и q . Докажем теперь, что к каждому числу, у которого k -я цифра равна x , приписывается цифра p , а к любому числу, у которого k -я цифра равна y , приписывается q , а к остальным числам приписывается цифра r , отличная от p и q . Действительно, пусть, например, нам дано число Z=b1b2..bk-1x bk+1..bn . Пусть цифра z отлична от p и q , а цифра ci отлична от ai и bi , 1 z, ci 3 . Рассмотрим число T=c1c2..ck-1zck+1..cn . Оно отличается от X и Y во всех разрядах, поэтому к нему приписывается цифра r . Число Z отличеается во всех разрядах от Y и T , поэтому к нему приписывается цифра p . Аналогично рассматриваются случаи, когда k -я цифра данного числа равна y или z . Из доказанного правила приписывания цифр очевидно следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 30
Год 1967
вариант
1
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .