Задача 78691
|
|
 |
Условие
В Чили в феврале проходил международный турнир по футболу. Первое место с 8 очками занял местный клуб "Коло-Коло". На очко отстало московское "Динамо" и заняло второе место. Третье место с 4 очками занял бразильский клуб "Коринтианс". Четвёртое место занял югославский клуб "Црвена Звезда", также набравший 4 очка. Доказать, что по этим данным можно точно определить, сколько ещё команд участвовало в турнире и по сколько очков они набрали. (За победу присуждается 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)
Решение
Пусть n – общее число команд, участвовавших в турнире. Тогда общее число набранных очков равно n(n – 1). С другой стороны, первые четыре команды набрали в сумме 23 очка, а каждая из остальных команд – не более 4 очков каждая, то есть всего не более 4(n – 4) очков. Таким образом, общее число набранных очков не превосходит 4(n – 4) + 23 = 4n + 7. Следовательно, n(n − 1) ≤ 4n + 7, откуда n ≤ 6.Команда "Коло-Коло" набрала 8 очков, и значит, сыграла не менее четырёх игр, следовательно, всего команд не менее пяти. Если бы команд было ровно пять, то первые две команды не могли набрать в сумме больше чем 2 + 2·6 = 14 очков.
Итак, команд было шесть. Тогда общее число очков равно 30, то есть две последние команды набрали вместе 30 − 23 = 7 очков. Так как каждая из них набрала не более 4 очков, то предпоследняя команда набрала 4 очка, а последняя – 3 очка.
Ответ
Ещё участвовали две команды, набравшие 4 и 3 очка соответственно.
