Задача 78703

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Дана бесконечная последовательность чисел a₁, ..., a_n, ... Она периодична с периодом 100, то есть  a₁ = a₁₀₁,  a₂ = a₁₀₂,  ... Известно, что  a₁ ≥ 0,  a₁ + a₂ ≤ 0,  a₁ + a₂ + a₃ ≥ 0  и вообще, сумма  a₁ + a₂ + ... + a_n  неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что  |a₉₉| ≥ |a₁₀₀|.

Решение

  Предположим, что  a₁ +...+ a₁₀₀ = − ε < 0.  Выберем N так, что  Nε > a₁.  Тогда  0 ≤ a₁ + ... + a_100N+1 = a₁ − Nε < 0.  Противоречие.
  Следовательно,  a₁ + ... + a₁₀₀ ≥ 0.  По условию  a₁ + ... + a₉₉ ≥ 0  и  a₁ + ... + a₉₈ ≤ 0.  Поэтому  a₁₀₀ ≤ 0  и   a₉₉ + a₁₀₀ ≥ 0;  значит,  a₉₉ ≥ 0.  Таким образом,  |a₉₉| = a₉₉ ≥ − a₁₀₀ = |a₁₀₀|.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	32
Год	1969
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	2