ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78746
Тема:    [ Неравенство треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек была больше 100.

Решение

Пусть A1, ..., A100 — данные точки, X1 и X2 — две диаметрально противоположные точки окружности, отличные от данных. Тогда AkX1 + AkX2 > X1X2 = 2. Следовательно, A1X1 + ... + A100X1 > 100 или A1X2 + ... + A100X2 > 100, поэтому одна из точек X1 и X2 обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 33
Год 1970
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 33
Год 1970
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .